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魏珉1,卓斌2
（1.江苏省宿迁市马陵中学,223800；2.江苏省宿迁市中小学教学研究室,223800）
摘 要：教学《利用导数研究函数的单调性》一课时,在复习函数单调性定义的环节,引导学生注意关键词的含义；在判断一次函数单调性的环节,引导学生注意数学语言的严谨性；在判断高次函数单调性的环节,引导学生理解导数的几何意义；
在判断对数函数单调性的环节,引导学生注意函数单调性的前提条件.由此,感悟到：学生在学习新知识的过程中犯错是正常现象；
学生的典型错误往往蕴含着正确想法的基因；数学教学应在深度“对话”中自然建构.
关键词：学生错误对话教学导数函数单调性
德国哲学家尼采认为：“时不时地犯错是人类天性的一部分.”英国哲学家波普尔进一步指出：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素.对于错误的恐惧是将我们锁在平庸城堡中的大门.只有克服这种恐惧,我们才能够朝着自由迈出重要的一步.”下面,结合《利用导数研究函数的单调性》一课的几个教学片段,谈谈我们对于学生所犯错误的认识与思考.
一、教学片段
(一)复习函数单调性定义：注意关键词的含义
师前面一段时间我们研究了导数,还记得它是准备用来做什么的吗?
生准备用来研究函数单调性的.
师那么,你已经知道函数单调性的哪些内容了？
生我知道函数单调性的定义,知道怎么证明函数的单调性.
师那你说说函数单调性的定义.
（教师投影：函数单调性的定义是什么？）
生在定义域内,取x1、x2,且x1<x2,若f(x1)<f(x2),则函数f(x)在其定义域内为增函数；若f(x1)>f(x2),则函数f(x)在其定义域内为减函数.
（教师板书.）
生（叫嚷）不对！
师哪里不对了？
生x1、x2应该在定义域的某个子集里面取,而且应该是任取的.
师为什么有这样的要求呢？
生因为有的函数在定义域内不具备单调性.
师比如？
生例如y等于x2.
师很好！我们知道函数的单调性是一个局部概念,在定义中需要强调的是在定义域的一个子集（区间）内任意取x1、x2.
（教师更正板书.）
(二)判断一次函数单调性：注意数学语言的严谨性
师刚才我们回忆了函数单调性的定义,那么请同学们思考第二个问题.
（教师投影：如何判断函数y等于2x－3的单调性？）
生因为函数斜率大于0,所以此函数在定义域内单调递增.
师函数的斜率？
生哦,不是.是这个一次函数（方程）对应的图像（直线）的斜率.
师嗯,要注意语言的严谨性.那么如果函数是y等于－x+1呢？
生因为它对应的直线的斜率小于0,所以这个函数在定义域内单调递减.
师也就是说,一次函数的单调性与相应直线的斜率有关.
(三)判断高次函数单调性：理解导数的几何意义
师请同学们看第三个问题.
（教师投影：如何判断函数y等于x2－4x+3的单调性？）
生这个函数在(－∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.
师你是怎么得到这个结论的？
生把函数配方成y等于(x－2)2－1,可以得到函数图像的顶点坐标.因为二次项系数为1,大于0,所以图像开口向上.再找出两个对称点（0,3）、（4,3）,可以画出简图.由图像可知函数在(－∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.
师大家看看,这个结论寻求的过程对吗？它与上一个函数单调性的研究有什么不同？
生第一个是利用相应直线的斜率得出函数的单调性,第二个是利用函数的图像.
师那么,这次为什么不依然利用斜率刻画函数的单调性呢？
生这个函数的图像是曲线,没有斜率.
师嗯,直线有斜率是我们早已知道的,那么曲线真的没有“斜率”吗？
（学生思考.）
生哦,不对.可以用曲线上一点处切线的斜率来表示.
师你准备怎么表示呢？
生对函数y等于x2－4x+3求导,得y′等于2x－4.取函数值f′(2)等于0,f′(0)等于－4<0.再在(－∞,2)上任意取x,都有f′(x)<0,所以(－∞,2)是函数的单调减区间.
生(－∞,2)上有无数个数x,你怎知道都有f′(x)<0？
师你怎么解释同学提出的疑惑？
生因为当x0<2时,f′(x0)<0恒成立.
师“当x0<2时,f′(x0)<0恒成立”如何得到？
生因为y′等于2x－4在(－∞,2)上是增函数,所以f′(x)<f′(2)等于0.
师也就是说,这个二次函数可以避开图像,从数的角度得出单调性了？
生是的.
师那这个函数呢？
（教师投影：一个三次函数y等于x3+2x2,画不出函数图像,你能否从上面的分析中类似地得出答案？
学生在座位上演算.教师巡视,请一位做出来的学生站起来回答.）
师从这三种函数的研究过程中,你能总结出什么样的结论呢？
（学生思考.）
生对于一个函数,解f′(x)<0就能求出单调减区间,同样f′(x)>0解出的就是单调增区间.
师这个结论对于更为一般的函数是否适用呢？若想说明它具备一般性,应该怎么办？
生证明.
师怎么证明？
生利用学过的函数单调性的定义.
师还得回归单调性的定义.（指着刚才板书的函数单调性的定义）观察定义,怎么和导数联系在一起呢？
生利用刚才的四个步骤.
师有没有不同于这个解法的？
生还可以直接画图,得出单调区间,因为它是基本初等函数.
师很好！我们不能因为学习了导数的方法就忘记了更为基本的解决办法.那么,如果函数变成y等于sin 2x、y等于sin x+cos x、y等于sin x+2cos x呢？
（学生作答.）
师所以以后遇到求解函数单调性的问题时,选择合适的方法很重要.
（课堂总结,布置作业.）
二、教学思考
(一)学生在学习新知识的过程中犯错是正常现象
我们认为,学生在学习新知识的初期,由于受到已有的知识以及经验的影响,不可避免地会产生各种各样的错误.这属于正常现象,是可以接受的.
譬如,学生对于函数的单调性容易一知半解、以偏概全.首先,函数的单调性是函数的局部属性,因此可以在其定义域的子集中研究,不需要在其整个定义域中研究.其次,x1、x2应该在定义域的子集中任意选取,唯有如此,才能保障函数在该子集上具有单调性.这些是函数单调性学习中的难点.多年的教学实践表明,历届学生在此处都会犯错误.
又如,学生对于曲线的斜率容易产生误解.首先,源于对于直线斜率的狭隘理解,因为第一次认识斜率时,斜率反映的是直线的陡峭程度.其次,源于对于导数几何意义的肤浅认识,因为刚开始接触这一几何意义时,还不能将其真正纳入原有的认知结构中,实现认知上的顺应.这里既需要教师的唤醒,更需要学生的领悟.
(二)学生的典型错误往往蕴含着正确想法的基因
学生的典型错误往往蕴含着正确想法的基因,可以成为发现源与创新点.教师需要小心地呵护,精心地研究,使之成为教学的入口、探索之大门.
譬如,研究函数y等于xln x的单调减区间时,不少学生得到这样的结果：求导数得y′等于ln x+1,由ln x+1<0解得x<1e,所以函数y等于xln x的单调减区间为－∞,1e.这样的结果虽然是错误的,但是距离正确答案只有一步之遥：注意到函数y等于xln x的定义域为(0,+∞),即可得到正确答案.对于学生来说,有了这次认知冲突,才能铭记考察函数定义域的重要性与必要性.
(三)数学教学应在深度“对话”中自然建构
巴西教育家保罗·弗莱雷说过：“没有对话,就没有了交流,也就没有了真正的教育.”古希腊哲学家苏格拉底更是以“苏格拉底方法”成为启发式教学的先驱：他在与学生谈话的过程中,并不直截了当地告诉学生所应知道的知识,而是通过问答、讨论甚至辩论的方式来揭露学生认识中的矛盾,逐步引导学生自己得出正确答案.教学实践表明,“对话”不仅是一种调动学生的教学手段,更是一种尊重学生的教育思想；不仅是教师和学生通过语言进行的交流与讨论,更是学生之间观点与想法的碰撞与争鸣.
本节课最大的亮点就是教师不断地与学生对话,并尽可能地激发学生之间的互动,使教学过程悬念丛生、迭起,不断产生思维的火花与智慧的接力.教师还特别注意通过追问,让学生之间形成争议与交锋,最终达成对真理的共识与共享,让课堂充满智趣与情趣.
综上所述：上文是关于经典教学专业范文可作为《利用导数研究函数的单调性》和人口和错误成为教学方面的大学硕士与本科毕业论文教学论文开题报告范文和职称论文论文写作参考文献.
参考文献：
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