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一、几种不尽人意的代表性教法
中国人讲数学文化时,基本不会错过祖冲之的圆周率及割圆术.但是,“讲什么”以及“怎么讲”却是言人人殊.其实,任何一个数学文化的教学,都存在着目标定位与方法选择的问题.有什么样的观念就有什么样的行为,并呈现出不同的课堂形态和教学产出.下面几种,是具有代表性的做法：
有的把文化当作知识,告诉学生,我们的祖先很早就求出圆周率精确到7位小数的近似值,领先于世界1000多年.然后介绍世界各国求取圆周率的年代和成就,形成历史性的对比.
有的把文化当作政治,告诉学生,我们的祖国有着光辉灿烂的古代文明,很值得我们骄傲与自豪；而且祖冲之还编制了新的历法《大明历》,是世界公认的科学伟人,月球上的一个环形山就是以他的名字命名的.然后要求学生像祖冲之那样,爱我们的国家,努力学习,继承祖国优秀的文化传统.
有的把文化当作趣味故事,告诉学生,祖冲之是如何克服落后条件的束缚求出圆周率的：他没有计算器,甚至连算盘都没有,使用的是筹算；他把算筹摆满了3个房间,克服了千辛万苦,为祖国赢得了这个巨大的荣誉.
有的把文化当作数学题目：告诉学生,祖冲之是怎样求取圆周率的,在哪里需要用到哪些知识,以及当时如何处理的……这些做法各有所长,但都是把“祖冲之求出圆周率精确到7位小数的近似值”当作确定无疑的知识递给学生的,所不同的仅仅是传递的方法.事实上,告诉学生“我们的祖先很厉害”,并不能对学生的学习和发展起到多大的作用——如果不能让他们自己变得“更厉害”的话.
二、现象学视野下的解读
我以为,如果把“祖冲之求出圆周率精确到7位小数的近似值”当作一种现象,则事情并不是这么简单的,也不是这么没有疑问的.
祖冲之求圆周率的“原始”成果是给出“盈数”3.1415927和“朒数”3.1415926,然后说“正值在盈朒二数之间”.也就是说,他给出的是一个范围而不是一个值.根据刘徽所说（也是祖冲之所相信）的“割之弥细,所失弥少”,当多边形的边数增加时,得到的是一个递增数列,如此,认定它有下界很正常,但是,靠什么认定它有上界呢？仅仅是直观估计吗？这恰恰是为历代研究者所忽视的问题.
(一)边长不可能是测量出来的
按照现在广泛流传的说法,“祖冲之设了一个直径为一丈的圆,在圆内切割计算,一直切割到二万四千五百七十六边形……”.这里,给人印象最深的字眼是“切割”,大多数人也认为祖冲之是画出了24576边形后进行计算的（科学史界对祖冲之割圆的边数有不同说法,从1536到49152都有,此处从华罗庚说）.而真实情况不可能如此,祖冲之的成就绝非来自“实际的切割”.即使他真的切割到24576边形,度量出来的边长也将毫无价值.分析如下：
直径为1丈的圆,周长将约是3.1415926丈.在等分成24576份以后,每一份的长度（弧长）约等于0.00012783173丈,即约等于0.04261厘米.这是弧长,而多边形的边是这条弧所对的弦,弦长还要小于这个弧长,因此必然小于0.5毫米.对于画在地面上的0.5毫米的线段,即使用现在的仪器来测量,精确性也没法保证.
况且,人在现实中画出来的图形不可能是“真的”圆,只能是近似的圆；画圆的场地不可能是“真的”平面,只能是大致平整的；用以画圆周的线也不可能没有宽度,一定有宽度；而且在“等分”圆周的过程中,误差不可能控制在小数点后8位……诸多的不可控因素,使得“割圆24576份”显得毫无操作的可能.
还有一点必须注意,中国古代没有人研究过等分角的技术,因此每次分割都只能等分弧,而“等分”的方法也只能是测量.假设所画圆周的“线宽”是0.2厘米,则在等分成24576份以后,分点都已经不好表示,“弦长”也已经比圆周的“线宽”还小许多.即使祖冲之精益求精,把上面的每一项都做到极致,根据当时的测量水平,测量出的数据也将没有丝毫价值.
所以,祖冲之不可能真的把圆分割到24576等份,再去测量它的内接多边形的边长.
(二)成果只能来自迭代
祖冲之只能通过计算的方法,而不是测量的方法求圆周率.那么,他是怎么计算的呢？《缀术》已经失传,其他的文献也没有记载,只能根据当时的数学水平进行推测了.
为此,让我们先来追寻刘徽的足迹,因为祖冲之是在他的基础上前行的.为了便于理解,我们把刘徽的工作翻译成今天的数学语言.为了理解上的方便,我们还把刘徽分析用到的面积简化成边长——这样,除了少计算了面积以外,内容上没有任何本质的改变.
刘徽从圆的内接正六边形开始,每次都把边数加倍（如图1）,即得到正12边形、正24边形……传说,他得到徽率（3.1416）时一直切割到正192边形.
那么,他为什么不是直接作出正192边形,而是从正六边形开始逐次加倍呢？为了便于解析,我们画出局部图（如图2）.其中,O是圆心,AB是某个内接正多边形的一条边,B′是弧AB的中点,AB′和B′B是边数加倍后的内接正多边形的两条边.根据垂径分弦定理,OB′⊥AB,记垂足为M.
记第n个内接正多边形的边长为an,则在等腰△AOB′中,AM是腰上的高,其长度等于an2；AB′是底,其长度等于an+1；△AMB′和△AMO都是直角三角形.容易得到递推关系：
由第n个内接正多边形的边数为6×2n－1,得其周长为Cn等于6×2n－1an.由此可以计算出圆周率的近似值为πn等于Cn2R等于3×2n－1anR.
刘徽开辟了一条正确的道路,后人如果能求出{an}的通项公式,则可把π的近似值用n表示,得到一个数列{πn},求极限即可得到π的值.但是很遗憾,从（*）式（以及a1等于R）无法求出数列{an}的通项公式.有一个递推数列,又不能求出通项公式,还能怎么做呢？只有一条路了,那就是迭代：先由正六边形算正12边形,再由正12边形算正24边形……
回过头去再看,我们发现,刘徽不是直接作出正192边形,而是从正六边形开始逐次加倍（192等于6×25）,其原因只有一个,那就是“割圆是假,迭代是真”：“割圆”只提供了一种思想,实际上无法在具体的圆上实施,能够实施的只有“迭代”.
同样地,祖冲之也只有“迭代”这一条路,别无选择.今天我们运用计算机,可以很轻松地模拟祖冲之的迭代过程,得到前12次迭代的情况（如表1所示,结果保留到小数点后8位）.
由表1可以看出,圆周率的近似值逐渐增加,且在第11次迭代时进入了祖冲之所说的范围,在第12次迭代时仍然在该范围内,此时内接正多边形的边数为24576.
现在的问题是,祖冲之能不能完成这些迭代呢？完成这个迭代需要的最高级的计算就是开平方,而这项技术完全在祖冲之的掌握之中.中国古代的《周髀算经》中就已经记载了具体数字的平方根,也就是说那时就有了开平方的意识.之后的《九章算术》中更是详细介绍了开平方的方法、步骤,用的是中国古人最拿手的“出入相补原理”；而且在世界上首开先河,用了十进制来表示小数.刘徽在为《九章算术》做注的时候,又绘制了彩色的图解：“析理以词,解题用图”,详尽入微,形象直观.所有这些,作为皇家数学家、又是当时最高水平的数学家的祖冲之,自当了然于胸.
开平方的技术、十进制表示的小数、割圆术的思想、筹算的本领、自由思考的环境……可见,祖冲之赶上了那个“需要伟人也产生了伟人”的好时代.
(三)上界的由来
再看表1中的圆周率近似值变化规律,可以发现在迭代到第11次的时候,值首次超过3.1415926；到第12次的时候,值仍在增加,而且末两位从“62”增大到“65”,幅度不算小.如果就此认定它不会超过“70”,理由很不充分,必须继续迭代.请看第13~15次迭代的情况（见表2,结果还是保留到小数点后8位）.令人惊奇的是,此后每一次得到的近似值都还是3.14159265,结论已经很明显了.
但有一点我们必须记住,即电脑不同于人脑：电脑只会根据人的指令一直计算下去,人脑却会及时调整.比如,在第12次算出3.14159265后,第13次算出的值仍然是它.这时,注意到迭代总是用上一次的值代入求出下一次的值,人脑可能会断定下一次还是这个值,并且一直会“重复下去”,这样就不会再有第14、15次迭代了.
于是,可以作这样的推测：祖冲之在第12次迭代得到3.14159265之后,发现增幅仍然较大,无法下结论,于是再一次迭代,而此时奇迹出现了——数据稳定在3.14159265上.
我们可以得出结论：祖冲之的迭代必须且只需进行到第13次,相对应的正多边形边数是49152.当然,对于正49152边形,从“作图等分圆周”的角度讲,也是无法操作的；但是作为迭代,则纯粹是摆弄算筹,对祖冲之而言毫无障碍,仅仅需要一点耐心而已.
尤其应该注意的是,在发现圆周率“永远稳定”在同一个值以后,祖冲之并没有一口咬定圆周率就等于这个数（3.14159265）,而是给出上、下界（“盈朒数”）,作出估计说“正值在盈朒二数之间”.为什么他不给出一个精确值,而只给出一个估计值呢？因为每次迭代结果都是取的近似值,即使后来数值“稳定”了,也难以保证这就是“正值”.祖冲之认识的深刻性确实远超于常人,但如果不是亲历了迭代的全过程,有真切的体会,则很难想象这样的认识该从何而来.
三、我的教学设计
教学中,共分为六个环节.
第一步,简单介绍圆周率的含义,让学生体会到“在所有的圆里,周长与直径的比值都是不变的”.然后,让学生尝试求出其值——当然,他们是求不出的.
第二步,介绍古代求圆周率的方法,比如古希腊的“铺豆子法”,即在一个圆盘上铺满豆子,同时在一个正方形内也铺满豆子,计算豆子数量的比值.然后,让学生思考：其中的原理是什么？正方形的边长与圆的直径应该是什么关系？——答案是：正方形的边长等于圆的半径,原理是πr2r2等于π.
第三步,告诉学生,圆周率是一个无理数,让他们明白,所有的操作、测量与实验都不可能得到真正的圆周率的值.进而,让学生了解：数学可以在实验中受到启发,可以在现实中得到推动,但是数学不是实验的科学；不论你操作的水平有高,不论你测量的技术有多精,那都不是数学本身.然后,让学生思考：该怎么来求它的值呢？
第四步,介绍中国的割圆术（古希腊的阿基米德也用过）,即刘徽的工作,让学生领会到割圆术的原理和操作步骤.
第五步,放手让学生使用割圆术求圆周率.其间有教师的引导与启发,使学生完成上面所分析的构造数列及迭代计算工作.
第六步,让学生体会割圆术与实验法的区别.进而,引导学生认识到,数学是让世界变简单的学问,也是给人以精神的自由并让人的价值得以体现的学问.
四、扩展性的数学研究活动
在上述教学设计以外,还可以让一部分能力强的学生进一步完成深入的研究工作,体验一下科学研究的乐趣.
祖冲之的圆周率计算,达到了一个辉煌的顶峰.即使以地球到月亮的距离为半径作圆,用“盈朒二数”的中间值（即3.14159265）去计算周长,误差也只有大约2.67米.如果单从应用的角度看,即使在现代航天飞行中,其精确度也已经够用.
但是,所有的实验、测量和近似计算都不可能得到真正的π的值,因为π是一个超越数（林德曼,1887）,它不可能是两个小数（不论多少位）的比值.人类不停地研究π的值,不仅仅是应用上的需要,还有精神上的需要,即通过认识自然来体现人的存在和人的价值.比如,“证明π是超越数”主要体现的是认识论价值而非实际应用的价值.这个目标只有在给出了π的表达式后,才能实现.因此,表达式的出现是圆周率研究上的又一次质的飞跃.
世界上第一个给出π的表达式的是法国数学家、举世公认的代数学之父韦达,他给出的公式是：
以后,又有欧拉、莱布尼茨、高斯、勒让德、拉马努金等多位数学家分别给出了π的表达式.看看这些人的名字,就可以想见它的意义,π的每一个计算公式都牵扯到数学的多个门类和多种技巧.一个有趣的现象是：但凡新建立的数学分支,只要有可能,总会先用自己的理论把π研究一番（比如概率论和计算机学科等）.甚至可以说,π的研究代表了一个国家的数学发展水平.中国的圆周率研究曾经领先于世界1100多年,但是没有一个中国人提出π的新表达式,这多少有点愧对古人.令人欣喜的是,我们现在就可以给出π的表达式,而且给出无数多个.
这样,就得出了π的两种形式和无数个表达式.有了公式,就可以把π的值精确到任意多位小数了.这些都是刘徽留下的遗产,只是在祖冲之以后我们继承得很不够.
五、结语
数学文化不仅仅是那些有形的符号、概念、公式、定理等,还有凝聚于其中的思想和方法.如果我们把它当作固定的成果来学习,则我们就是承载者或负荷者；如果我们把它当作鲜活的现象来对待,则我们就是探究者或（再）发现者.牛顿说自己“站在巨人的肩膀上”,就是因为他把前人的成果当作可以踏步的阶梯,而不是扛在肩上的宝藏.数学文化的教学,应该使学生的视野更开阔、胸怀更远大、步履更从容,而不是相反.在现象教学的框架下,数学文化是认识的客体,而不是膜拜的对象.在学生的活动中,它们将重新在智慧里闪耀出新的光芒,并长期在生命里焕发出新的活力.
该文汇总：此文是一篇关于如何在方面的大学硕士和本科毕业论文以及割圆术和中学讲割圆术和祖冲之相关如何在论文开题报告范文和职称论文写作参考文献资料.
参考文献：
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