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数学恐怕是令无数学生都“焦头烂额”的一门学科.可数学又无处不在,充满了每个人的生活.马克思曾说过：“一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.”北京大学数学科学学院教授孙文祥就将这个“虐我千百遍”的学科运用得宜,一步步探寻着数学奥秘.
坎坷求学路
出生于1958年的孙文祥,高中毕业后被安排到农村学校教书,但他始终放不下对知识的渴求,两年后被保送进入河北师范学院（今河北师范大学）数学系学习.因大学入学时间推迟,孙文祥的本科学习时间只有两年半.毕业后,他留校任教,1982年被派往河北师范大学进修硕士研究生,但仅作为进修生的孙文祥没有机会获得硕士学位.勤能补拙,工作几年之后,孙文祥于1991年考取中山大学博士研究生,仅用两年半的时间就取得了常人3年才能拿到的博士学位.孙文祥常说这是因为遇到了“好老师”,他在陈藻平先生、何连法教授和周作领教授的科研思路影响下,奠定了在数学领域的研究方向,也就是微分动力系统与遍历论.
博士毕业后,孙文祥在北京大学做博士后研究,合作导师是在国际微分动力系统界独树一帜的廖山涛先生.此外,文兰院士领导的微分动力系统研讨班令孙文祥获益良多；他和国际数学联盟主席Pa l is领导的巴西动力系统学派还有定期的访问合作.植根于深厚的研究沃土,孙文祥率领他的博士生和国外同行做出了独特的系列研究成果.
洞悉“熵的黑洞”和“熵爆炸”
20多年来,孙文祥与团队在微分动力系统的遍历理论领域里兢兢业业,克服重重困难,在非一致双曲系统的周期逼近和周期偏差课题,在带奇点流的熵退化理论课题中取得30余篇科研成果论文,发表于Transactions AMS、Proceedings AMS、ETDS、CMP 等国际著名数学综合学术杂志和国际顶尖专业学术杂志上.
目前,团队成员包括巴西学派的两位教授和一位美国教授以及孙文祥指导的10余名博士生和硕士生,如今这些学生已经有若干名成长为副教授、教授,在复旦大学和美国的密执安州立大学等著名大学工作.
有了团队的支撑,研究进行得如火如荼.微分动力系统的运动复杂性可以用非负实数——熵来量度.熵在物理、化学、信息学中表示系统的混乱程度和不确定程度,而动力系统里的熵则突出了这种混乱或不确定性与时间和运动的关系.0熵系统复杂度最低,正数熵系统则比0熵系统复杂程度高一个层级,且熵越大复杂度越大.无穷熵系统则是复杂的最高级别.
孙文祥团队构造了一个四维流形（空间）和带有一个固定奇点的向量场族,即一族微分动力系统.这族系统的运动轨道是一样的,但运动速度不同.从一个熵很大很复杂的正熵系统开始,增大轨道在奇点附近的停留时间（等价于减小轨道在奇点附近的运动速度）进而减少向量场的熵值,达到的临界系统是个0熵系统.这族系统的正熵退化为临界系统的0熵,由此可以解释为：系统族的全部熵都被奇点“吸收掉了”,或者说,临界系统的全部熵集中在奇点上.这样一来,临界系统的奇点就好似一个“黑洞”,吸引了系统的全部“能量”—熵.孙文祥称临界系统的这个奇点为熵黑洞,上述例子则给出了熵黑洞的一种行成机制.
团队构造的熵黑洞是无法接近的,究其原因,是因为在奇点,即熵黑洞周围存在一个极小集合,其每个点的运动轨道在空间中稠密且全方位无限次逼近奇点.正是这个极小集合在熵黑洞形成了“保护箱”,使得外面状态点的轨道无法穿越这个箱子达到奇点.熵黑洞也是不能观察的,原因是包括勒贝格测度在内的、凡是随轨道不变的测度都消失了,没有运动着的观察测度.熵黑洞还不能度量,是由于正熵系统的黎曼度量在达到临界系统时退化为非黎曼度量.
孙文祥团队进一步就一般的熵黑洞揭示了特征.下面几个特征条件单独成立,即满足其一就能形成熵黑洞：
1．轨道在奇点附近的停留时间太大超过了“极限线性”；
2．轨道在奇点附近的速度太小超过了“极限线性”；
3．所有随轨道不变的测度包括勒贝格测度全部消失,即没有了“运动着的”观察测度；
4．黑洞形成过程是相对论中黎曼度量变化的过程,临界系统对应的是黎曼度量破裂成非黎曼度量.
依据3 和4 , 熵黑洞是无法观察到、无法度量的.只能用数学方法证明其存在.
孙文祥团队证明,不带奇点的向量场不会出现熵黑洞,带奇点的向量场如果奇点不是很特殊,也不会出现熵黑洞.于是,熵黑洞出现是很少的现象.然而,他们又证明这种带有“熵黑洞”的系统并非个例,如果所有系统放在一起构成一个集合,则具有熵黑洞的系统构成的子集合是具有无限维数的.
除此之外,团队还构造了具有无穷层保护箱的熵黑洞.“在一维流形和二维流形上不会产生熵黑洞,四维以上流形可能产生熵黑洞.”孙文祥介绍.据悉,“三维流形上能否产生黑洞”是孙文祥仍在研究的课题之一,未解之谜正在逐一得到解答.
如果说物理黑洞是“物质的”——奇点吸引了周围的质量、光或热量,那么孙文祥团队的熵黑洞则是关于运动复杂程度的数量的“非物质”黑洞.
团队取得的众多成果中不得不提的还有一个逆向成果——熵爆炸.团队构造了一个拓扑空间和一族动力系统,这族系统的运动轨道是一样的,但运动速度不同.从一个0熵即没有复杂性系统开始,减小轨道在奇点附近的停留时间（等价于增大轨道在奇点附近的运动速度）进而增大系统的熵值,达到的临界系统是个无穷大的熵系统,即轨道相同的一族系统熵值从0增大爆炸成为无穷熵.
虽然有巴西学派的数学家G e l f e r t和美国西北大学物理学家Mortter在孙文祥团队之后获得了1项研究论文,但总体来讲,研究尚没有引起国际上更多数学家和物理学家的关注.团队的研究仍然是孤军奋战.“研究始于1997年,共发表9篇研究论文,每过一两年当我们有新想法时,就证明出新定理,研究就往前推进一步”,孙文祥如是说,“不紧不慢,孤独前行,也享受这种过程.”
传递数学之美
在数学研究同时,孙文祥还注重培养年轻人.他著有我国第一本研究生教材《遍历论》,该书第一次系统介绍了遍历论的基本知识、基础技术以及团队新成果.
在孙文祥看来,做学问的过程中,也是有层次性可分的：一个是知识,一个是学问,再者就是知识和学问不能分离,要将其结合起来,找到解决问题的关键思路.细细说来,在引领课题或者某个研究方向时,也许技术就足以解决很多问题,但真正限制研究的却是思路,一旦科研思路清晰明了,就算研究再复杂难解,终会找到突破口.
孙文祥经常强调的还有思路的独特性.当问题出现时,人们总是习惯于用“老”知识来衡量“新”问题的对错,却很少想要开创性地去研究这个新问题.“独到见解是做学问的最高层次.”孙文祥表示.
日常教学中,孙文祥总是保持着高度热情,不止要把所教的内容讲清、讲明白,还要讲透彻.教学中他还特意放慢速度,留给学生充足的思考时间.他的数学教学得到学生好评,2015年被选为“北京大学十佳教师”.
孙文祥就是这样一步步证明着,在数学学习研究中,即便开头难,但只要有肯攀登的决心,成功并不是遥不可及.而在教学中,孙文祥同样带领学生们用开拓的思路领悟着数学的浪漫与美感.科
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参考文献：
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