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分类:毕业论文 原创主题:老师论文 发表时间: 2024-03-10

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徐章韬,王亚运

(华中师范大学数学与统计学学院,430079)

摘 要:从MKT的观点看,如果真正地把内容知识吃透了,是能够产生教育上的见解并用之于课堂教学的.以《方程的根与函数的零点》一课为例,说明在MKT的视角下课堂教学应该这样组织架构:利用专门内容知识,教育取向地理解学科本质;利用内容和学生的知识,了解学情,以学定教;利用内容和课程的知识,理解知识的教育形态在文本中的呈现;利用内容与教学的知识,演绎精彩课堂.

关键词:MKT 教学设计 函数的零点

数学课堂教学的知识基础主要有数学学科教学知识(即数学教学内容知识,rnathe-rnatics pedagogical content knowledge, MPCK)和面向教学的数学知识( mathematical know-ledge for teaching,MKT)两种.而MKT与MPCK的最大不同之处在于,在MKT框架中内容知识(CK)与学科教学知识(即教学内容知识,PCK)融为一体,内容知识对学科教学知识有奠基、辅射作用-MKT框架是对MPCK框架的精细化和进一步确证.

MKT研究既具有西方视角,又与我国本土的教育经验相贯通.从MKT的观点看,如果真正地杷内容知识吃透了,是能够产生教育上的见解并用之于课堂教学的.这个看法得到了教育数学观点(张景中院士提出)的支持,教育数学研究在重构数学体系的过程中得到了许多有益的教育见解.

基于对教学实践中所需数学知识的分析,美国密歇根大学教育学院院长Ball教授和她的研究团队将面向教学的数学知识分为学科知识、学科教学知识两大组块,并且将学科知识分为数学水准知识( horizon cindtentknowledge,HCK)、一般内容知识(commoncontent kowledge,CCK)、专门内容知识(specialized content knowledge,SCK)三个部分,将学科教学知识分为内容和学生的知识(knowledge of content and student, KCS)、内容和课程(knowledge of content and curri-culum,KCC)、内容和教学的知识(knowledgeof content and teaching,KCT)三个部分.基于此,以《方程的根与函数的零点》-课为例,论述在MKT的视角下课堂教学应该如何组织架构这样一个常话常新的主题.

一、利用专门内容知识,教育取向地理解学科本质

SCK是指教师为了教学而必须具备的一种独特的数学知识,能对教学目标的走向起到战略定位作用.具体地,是指推动某一主题发展的研究问题及研究动机的知识,解决这一问题的研究方法和研究手段的知识,得到的研究结果如何解释、如何运用的知识.面向教学的知识远比教给学生的知识丰富、深刻.教师具备SCK,才能真正了解教学目标的走向及定位,形成自己的教育见解,拥有自己的教育理念.

首先,SCK要求教师明确推动某一主题发展的研究问题及研究动机.问题和问题解决是数学的核心;有思考的问题,才有学习的动机.教师要寻找真正体现某一主题的好问题,最好是一些推动学科发展的本源性问题;它们的教育性呈现不仅能抓住和把握数学的本质,而且能激发学生的学习兴趣,启发学生的认知能力.针对本节课而言,方程与函数是两个重要的数学主题,方程的求解与函数的性质是两个很好的研究问题;但是,为什么要把方程与函数并列?为什么要把根与零点并举?在方程的知识体系中研究方程求解行不行?在函数的知识体系中研究方程求解行不行?通过数学史的学习,问题与动机就一目了然了.在方程的知识体系中研究解方程,大多是为了求精确解,更多是一种理论研究——如伽罗瓦的故事便是其中千古流传的一段佳话.在函数的知识体系中研究解方程,大多是为了求近似解,更多是一种应用研究——如牛顿迭代法等各种数值求解法就是其中的典型代表.明白了研究问题和研究动机,就知道本节课的教学中蕴含着研究视角的巨大变化.不了解这些,本节课教学目标的定位就不会清晰,从而极有可能会引发学生的诸多认知困惑.

其次,SCK要求教师对解决这些问题的方法和手段的知识有深切的认识.既然是从函数的角度研究解方程,而不一定要寻得精确解(如果能找到精确解,当然更好),那么就要充分发挥函数的优势.与方程相比,函数具有哪些优势?方程可以看作函数的特例,从函数的观点看方程,就把方程置于一个大背景中了;函数有图像,直观,可以从图像的连续变化中寻求方程的近似解;函数有解析式,具体,可以从函数值的连续变化中寻求方程的近似解.这样,零点存在定理就呼之欲出了.通过对研究方法与手段的深入认识,将“压缩”的、结果化的数学文本进行深入的“解压”、过程化,可以使复杂的知识变得简单容易,使抽象的知识变得具体直观,从而促进学生的理解.

再次,SCK还要求教师深入解读作为研究结果的知识.换个角度看问题,把方程的根视作零点,不拘泥于零点本身,而在其邻域范围内进行微分析,这其实就是微积分的精髓所在.零点存在定理就很好地提供了一种寻找零点(方程的根)的方法,具有方法论的导向意义:在区间中寻找零点,颇有点“只在此山中,云深不知处”,于无穷中觅其踪的意味,也是二分法产生的源头.数学问题解决之后往往作为“凝固”的知识形态而存在,但是如果把它们视作可以搬运的知识点、知识链,而不能欣赏,那么教学的价值就不能得到彰显.

二、利用内容和学生的知识,了解学情,以学定教

KCS是指能够预测学生的认知困难或诊断学生的认知表现的知识,关注如何理解学生对特定内容的学习.教师不但要理解具体的教学内容,而且要清楚学生对此内容是如何理解的,学生视角下的数学内容是什么样子的,学生会遇到哪些认知障碍、冉现哪些认知错误等.教师具有KCS,才能对学情有比较深入的理解和比较准确的把握,并更有针对性地进行教学;才能真正做到以生为本、以学定教.

首先,KCS要求教师探明学生知道了什么、不知道什么,即学生已有的认知基础.针对本节课而言,学生了解了一些基本初等函数的模型,掌握了函数图像的一般画法,具有了一定的从图像中获取信息的能力.这为学生利用函数的图像判断方程的根的存在性提供了一定的知识基础.学生还知道一些方程求解的具体方法,如一元二次方程的求根公式.但是,学生往往无法把这两方面的知识有机地融合起来,即不理解方程的求解可以作为函数观点的一种应用.

其次,KCS要求教师准确地预测学生可能遇到的困难,从而采取有针对性的措施解开学生的困惑.对于函数零点本质的理解,学生缺乏函数观点的应用意识和对函数与方程之间联系的认识.为何要从函数的角度研究方程?如何理解方程根与函数零点之间的关系?如何探究函数零点存在的条件?考察一个特殊的点,为何要在一个一般的范围内?上述问题是学生普遍存在的认知困惑.教师要由此出发,设置环环相扣的问题,引导学生在思考、解决的过程中进行方法的选择与观念的更新,认识到函数与其他知识的联系,树立函数观点的应用意识.

再次,KCS还要求教师准确地诊断学生所犯错误的本质,从而采取有针对性的措施纠正学生的错误.学生错误地认为函数的零点是一个点,归根结底是整体把握不够,对方程根的多元外在表征、丰富内蕴思想不能形成灵活的沟通和转化.学生无法准确地判断函数零点的存在性,归根结底是深入理解不够,不清楚函数在闭区间上存在零点的充分条件和必要条件之间的关联与区别.

除了关注学生学习具体数学主题的认知特点、思维方式以及常见误区之外,教师还要了解学生作为“人”的一般心理特点.学生已有的学习基础、学习方法、学习困惑、学习错误以及学习态度等都是影响学生认知的重要因素.为此,教师还必须具备一些心理学的知识,如普通心理学和认知心理学的知识.

三、利用内容和课程的知识,理解知识的教育形态在文本中的呈现

KCC是指关于特定主题知识的原型和演化及其在教材概念体系、逻辑结构中的位置定位和纵向、横向联系的知识.教师要理解课程的发展性:不仅要理解在特定时段内教授的课程内容,而且要理解那些还没有进入课程内容的学科知识.

首先,KCC要求教师在理解课程标准的基础上深度挖掘教材,熟悉教材编排的体系,吃透教材编写的意图,清楚教学内容在教材结构中的地位和作用.学习数学要注意内容的联系和经验的迁移,因此,教师要对出现在不同学段或知识构架中的相同或相关数学主题进行挖掘和解读.针对本节课而言,方程是初中代数课程的一条主线,函数是高中代数课程的一条主线;而方程与函数的关系是高中代数课程的重要主题,方程与曲线(包括函数与图像)的关系是高中解析几何课程的基本主题.初中教材涉及的方程次数不超过二次,典型代表是一元二次方程,它和一元二次函数有着千丝万缕的联系.这一题材进入高中教材,不仅是为了和初中教材有效衔接,还在于:一元二次函数不是超越函数,其图像已知,其数值可算,对应方程不仅可以精确求解,而且能够不求解而判断解的存在性,那么,对于一个超越函数,其图像未知,但其数值可算,如何判断对应方程解的存在性并求解显然就是进一步要研究和揭示的问题.另外,解析几何中的方程揭示了点的横、纵坐标之间的二元依存、对应关系,是曲线的方程——可以是函数方程,如直线的方程、幂函数曲线的方程等;也可以是非函数方程,如网的方程、圆锥曲线的方程等.如果特殊化,考虑纵坐标为零时横坐标的情况,就变成方程根或函数零点的问题——构造曲线解方程,利用曲线范围求函数零点,依据就在于此.把方程视作函数或曲线,其精要在于打破了一元关系的静态、封闭性,在动态、开放的二元关系中考察特殊的位置关系.这样的教材挖掘,为教师处理教材带来了创造性,由此教师能够引导学生以核心知识为结点,建立知识的多元表征联系,构建知识网络,帮助学生突破难点.

其次,KCC还要求教师清楚特定课题与相关学科的联系.不同的学科可以有“交集”,因此理解课程时,教师一定要基于学科又超越学科,要透过表面差异认识各个学科的本质.“数理不分家”,进人中学教材的数学内容大部分都有丰富的物理意义.这些物理意义一方面是理解形式化、符号化数学内容的直观背景,另一方面也是数学模型的原型.物理科学的发展需要数学工具的帮助,很多物理现象都需要函数或方程模型来描述和处理,而寻找方程的近似解正是这种诉求的体现.对物理现象而言,有时精确描述或处理不太可能或没有必要,而只能或只要求得满足一定精度的近似解.于是,误差、精度、迭代方法、数值计算这样一些与实际物理问题求解紧密相关的概念就自然地进入了数学之中.这样的学科联系,为教师处理教材提供了新视角,由此教师能够为不同学段、不同学龄的学生提供适宜的表征,从而有助于学生对知识的理解.

四、利用内容与教学的知识,演绎精彩课堂

如果说医生的真功夫体现在临床上,教师的真功夫则体现在课堂上.KCT是指综合了针对内容的教学设计和实施这两方面的知识:在设计教学时,教师需要考虑选择哪个例子引人课题比较合适,需要判断所教概念、原理等的不同表征及不同方法程序在教学上的优缺点;在关于特定内容的课堂讨论中,教师需要决定何时暂停讨论,何时指出关键点,何时提出新问题以促使学生进一步思考.教师具备KCT,就能有效地转化教学内容以便适合学生的学习,从而演绎精彩的课堂.

首先,KCT要求教师考虑选择哪个例子引入课题,可以使学生更深入地思考内容:或创设现实情境提出问题,或依据逻辑脉络提出问题,以形成认知冲突,激发学生的求知欲和“火热的思考”.作为最重要的引导之一,课堂讲究导入,导人的方式和价值都是需要深入思考的问题.教师要深入挖掘反映一节课教学目标的本质问题,准确选取贴近学生“最近发展区”的任务,以此作为出发点,并用“道而弗牵”的方式来驱动教学.对于本节课,我们可以用一个有趣的历史问题来导入.首先简介历史上各种方程的求解方法及遇到的困难,并提出问题:既然五次及五次以上的方程和指数方程、对数方程等超越方程都没有求根公式,那怎样才能求出它们的根呢?如果从方程的角度人手研究方程求解的问题已经很困难,那么该怎么办呢?由此,激发学生的学习热情和思维参与.然后,趁热打铁,继续提出问题:方程Inx+2x-6等于O有没有根?由此,引导学生将方程与函数联系起来.这样的导入,可以让学生明白“为什么学”.只有学生明白了“为什么学”,进一步设计的“学什么”和“怎样学”才能得到充分、有意义的落实.

其次,KCT要求教师明确教学目标,突出教学重点,突破教学难点,并采取恰当的表征方式,设计恰当的教学活动,根据学情循序渐进地展开教学,将学科内容的逻辑顺序贯穿教学的始终,尽量在提出问题、分析问题、解决问题的过程中,使新知与学生头脑里已有的适当知识、经验建立实质性的联系,让学生了解知识的发生、发展过程,探明知识的最佳序列、结构.本节课的教学重点和难点是方程的根与函数零点的关系以及零点存在定理.对于函数零点概念,教师可以从学生熟知的具体可解的方程问题人手,让学生求方程的根.学生会有各种不同的回答,教师可以针对实际情况,引导学生在一个大背景中认识方程确定的根与函数值变化的值的依存关系,进而发现求方程根的问题可以转化为求函数零点的问题.在这个过程中,教师首先要通过函数图像展示函数零点,其次要通过方程、函数以及图像之间的联系理清方程的根、函数零点、图像与x轴交点的横坐标的等价关系;由此加深学生对数形结合、转化划归思想的理解.对于函数零点存在性的判定,教师可以从几何直观人手,引导学生观察与x轴有交点时函数图像的走势和区间端点函数值的特征,并通过比较和分析发现“连续”“异号”与函数零点的联系.这时,可以利用正例和反例,让学生明白“连续”“异号”这两个条件是函数在闭区间内有零点的充分条件,而不是必要条件.然后,过渡到函数图像不可知时如何判断零点存在性的问题.这时,可以凸显符号判断法的作用,让学生体会欲擒故纵式地在一个范围内求解一点,用不等说明相等是多么精妙的数学思想.这里,方程、函数、图像及不等式的知识相互交织,彼此衔接,构成学生认知观点变迁演化的内在线索.

当然,决定一堂课的教学效果的因素远不止这些.例如,还要讲究语言艺术.语言具有音韵节奏美,文字考究而精炼,则易于倾听、记诵和理解;举例生动、富有画面感,才能吸引人.教师的口述、板书、展示、播放等和学生的思维彼此留白、互相配合,教师的形象、表情、举止等充分展示出人格魅力,也都能使学生受到感染、激励和教育,从而培养学生的兴趣、提升学生的理解.这些都是做好教学的必要条件,也是教师教学知识体系中的重要组成部分.

总之,MKT既是指导教师上课的一种框架,也可以作为评课的一种框架.它简便易行,是一种操作性强、实践先行、基于教师“最近发展区”、参与式的教师教育方式.从MKT出发进行学科教育或学科教学的研究,具有理论和实践上的双重意义.

综上而言:上文是一篇关于对不知道怎么写黄小伟和黄小伟老师和《寡人之于国也》论文范文课题研究的大学硕士、老师本科毕业论文老师论文开题报告范文和文献综述及职称论文的作为参考文献资料.

参考文献:

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