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叶知远1,罗仁福2

（1北京市第五中学,北京100007；

2北京大学现代农学院（筹）,北京100080）

［摘 要］随着“全面二孩”政策的放开,人们的生育观念将逐渐转变,尤其是育有独生子女的育龄女性家庭（以下简称独生子女育龄女性）,其数量和生育意愿,将可能对现有北京人口规模的预测模型产生影响.文章在灰度预测法的基础上,考虑了出生率、死亡率、年龄结构、男女比例、“全面二孩”政策（独生子女育龄女性比率和生育意愿）等影响因素,建立了Leslie模型,对北京人口总数、进行了理论预测和数值求解.通过与灰度预测的结果对比,表明北京人口总数在2015—2024年将逐步增加,“全面二孩”政策等因素将导致人口总数逐年发生小幅度改变,而总增长趋势并无显著影响.

［关键词］北京人口灰度预测；Leslie模型；出生率；死亡率；“全面二孩”政策

［DOI］1013939/jcnkizgsc201803087

自1949年以来,中国的生育政策经历了多次变革.为了应对即将到来的人口老龄化问题,我国逐渐推广“双独二孩”和“单独二孩”政策.直至2015年年末,随着“全面二孩”政策的放开,中国的人口总数和年龄结构将会在今后产生变化.与此同时,生育政策调整对人口规模的影响是众多国内学者研究的热点问题.［1］在“全面二孩”政策的影响下,育有独生子女的育龄女性的数量及二孩意愿有可能会是人口规模改变的关键因素.除此以外,人口规模还受其他多方面因素的影响,如年龄结构、男女比例、死亡率和出生率等.

本文主要思路如下：首先,基于1979—2014年的统计数据,通过灰度预测法,建立并数值求解了北京人口总数2015—2024年随时间变化的数学模型；其次,为进一步考虑出生率、死亡率、年龄结构、男女比例、“全面二孩”政策（即独生子女育龄女性比率和生育意愿）等因素对人口规模的影响,在灰度预测法的基础上,建立了Leslie模型,通过数值求解实现了北京人口总数的预测.最后,本文还对该两种模型进行了比较和分析,改进后的Leslie模型更加细致和合理,并提出了模型的不足和改进方向.

1基于灰色预测法的人口预测

11数据与假设

对于北京地区,由于人口规模总数可能受到很多不确定因素的影响,如教育改革、产业升级等［2］,其相应的人口预测模型理应考虑这种不确定性因素.为此,我们引入灰色预测法.灰色预测通过关联分析,可以鉴别该系统因素之间发展趋势的相异程度,并基于对原始数据的等时距观测和处理,来寻找系统的变化规律或趋势,然后建立相应的微分方程模型,从而预测事物未来发展趋势的状况.［3］

以北京人口总数为研究对象,为简化起见,北京人口总数可以近似看作北京常住人口总数.通过查询可知北京市1979—2014年常住人口统计数据［4］,如表1所示.假设该数据均真实有效,具有统计分析价值.另外,我们还进行如下若干假设：本文所研究的是一个封闭系统,也就是说不考虑北京市与其他城市的人口迁移问题；不考虑战争、瘟疫等突发事件的影响；未来十年北京市人口政策不会再发生大规模改动,市内各区县各民族的人口政策相同,且市民生育观念不发生太大改变；女性生育年龄为15~50周岁；同一年龄段的育龄妇女生育率相同,各年龄段的育龄妇女生育率呈正态分布；人口数量足够大,为时间的连续可微函数.

12建模与求解

基于表1所给数据,对人口总数的预测建立数学模型,预测2015—2024年的人口规模变化趋势.根据灰度预测法,我们将1979—2014年的数据做一次累加,建立白化式微分方程.设X(j)(t)为第t时间区间内各年龄段j阶时间序列人口总数的向量,B为时间序列的数据矩阵.根据往年的人口原始时间序列为

X（0）（t）等于｛X（0）（1979）, X（0）（1980）, X（0）（1981）,…,X（0）（2010）｝

通过一次累加生成运算X（1）（t）等于X（1）(t-1)+X（0）（t）,可得到一次累加生成序列为

X（1）（t）等于｛X（1）（1979）, X（1）（1980）, X（1）（1981）,…X（1）（2010）｝

进而,建立白化式微分方程dx(1)(t)dt+ax(1)等于μ.用最小二乘法估计参数,

a^等于(a,μ)T等于(BTB)-1BTYN,其中

B等于-12［X（1）（1979）+ X（1）（1980）］1

-12［X（1）（1980）+ X（1）（1981）］1

-12［X（1）（2013）+ X（1）（2014）］1,

YN等于｛X（1）（1980）, X（1）（1981）,…,X（1）（2010）｝

解该一阶线性微分方程,得到时间响应函数为

(1)(k+1)等于(x(1)(1)-aμ)e-ak+μa

(0)(k+1)等于(1)(k+1)-(1)(k).

综上所述,我们完成了基于灰度预测法对北京人口预测的建模［5］.通过利用Matlab软件,编程求解上述微分方程可得到如图2柱状图所示结果.

2基于Leslie模型改进的人口预测

21数据与假设

上述根据灰色预测法预测得到的人口总数,只考虑了时间影响因素,模型过于简单,忽略了生育率、死亡率,尤其是“全面二孩”政策的影响,即育有独生子女的已婚育龄女性的数量及二孩意愿.所以,为了将这些因素考虑进来,还需在引入新的人口预测模型.通过Leslie模型,可以很好地对灰色预测法的结果进行改进.该模型所需的具体数据选取如下.

（1）2011 年,北京各区县针对“单独”家庭中已育一孩的妇女二胎生育意愿的调查结果显示,62% 的“单独”夫妇想要生育第二个孩子.［6］

（2）2010年,根据北京信息统计网［4］可得育龄女性独生子女各年龄段比率如表2所示（除15~49岁外其他年龄段女性生育率接近于0,故在此不予讨论）,北京市总出生率和死亡率分别为：748‰和441‰.

（3）2010年,北京市各年龄段所占比率及各年龄段男女比例统计数据［4］,整理可得图1.

22建模与求解

我们首先将人口按年龄大小等分为19个年龄组,记i等于1,2,…,19,分别为0~4岁,5~9岁,……（依次类推）,85~89岁和90岁以上,共计19个年龄组.同时将连续的时间离散为时段,长度与年龄组区间相等,记k等于1,2,3,4,5.定义ai(t)为第t时间区间内第i个年龄段人口总数,bi(t)为第t时间区间内第i个年龄段人的出生率,di(t)为第t时间区间内第i个年龄段人的死亡率,ei(t)为第t时间区间内第i个年龄段独生子女育龄女性比率,h(t)为第t时间区间男性人数与女性人数的比值.则有

ai(t+1)等于ai(t)(062ei(t)+bi(t)-di(t))i等于1,2,…,19

定义A(t)为第T时间区间内各年龄段人口总数的向量,A（t）等于21i等于1ai（t）

定义P(t)为第t时间区间各年龄段人口总数向量转移矩阵,

P(t)等于1h(t)+1(062ei(0)+bi(0))1h(t)+1

(062ei(1)+bi(1)…1h(t)+1(062ei(21)+bi(n))

1-di(1)

…1-di(n)

则有A(t+1)等于A(t)P(t),进而可得A(t+1)等于A(1)∏tj等于1P(j).需要说明的是,为减小误差每次计算A(t)完后用如下公式对a19（t+1）进行校正.

a19(t+1)等于a19(t)×(062e19(t)+b19(t)-d19(t))+a18(t)×(062e18(t)+b18(t)-d18(t))

结合灰色人口预测模型的结果,以及章节31中列出的统计数据,我们通过数值求解得知,在考虑了“全面二孩”政策的影响下,北京市Leslie人口模型的预测结果,如图2柱状图所示.

3讨论与总结

综上所述,我们完成了在“全面二孩”政策的影响下,对北京市人口规模的理论预测.如图2为两种模型,即灰度预测法和基于灰度预测法改进的Leslie模型,分别预测到的北京在2015—2024年的人口总数变化趋势.通过对比两种模型可知,由灰度预测法得到的预测结果只是给出了人口总数随时间因素改变的关系,模型比较简单；而Leslie模型则在灰度预测法的基础上进行了必要且有效的改进,除灰色关联外,还增加了出生率、死亡率、年龄结构、男女比例、“全面二孩”政策（即独生子女育龄女性比率和生育意愿）等因素的研究.通过建立多个指标因素,对人口规模预测更加合理可靠,从图上可以看出,由于“全面二孩”政策等影响,2015—2017年北京人口总数将较原模型预测值有所增加,但从总体来看影响并不显著.

两个模型的结果都显示出了比较一致的人口变化趋势,即随着年份逐渐近似线性增长.预测北京人口总数自2015年人口总数为约2100万人到2024年将增长到约2700万人.值得一提的是,由于查询数据的不充足,本文所建立的模型中考虑的出生率和死亡率为总体指标,若能获得各年龄段的出生率和死亡率,改进的Leslie模型将会有更加准确的预测结果.

参考文献：

［1］ 王军生育政策调整对中国出生人口规模的影响——基于生育意愿与生育行为差异的视角 ［J］.人口学刊,2015（2）：3

［2］ 董银兰人口学概论 ［M］.北京：科学出版社,2004

［3］ 刘思峰灰色系统理论及其应用 ［M］.北京：科学出版社,2004

［4］北京信息统计网http：//wwwbjstatsgovcn/zt/rkjd/zbjs/201603/t20160322_340757html

［5］李咏馨,闫云侠,吴梦晗,等基于灰色预测和 Leslie 模型的人口结构可持续发展的预测模型 ［J］.赤峰学院学报：自然科学版,2017,33（13）：103-105

［6］翟振武,张现苓,靳永爱立即全面放开二胎政策的人口学后果分析 ［J］.人口研究,2014,2（1）

［作者简介］罗仁福（1975—）,男,汉族,江西乐安人,副教授,研究员,博士,研究方向：健康与教育.

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参考文献：

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