论文概念教学：追求数学语言的精致化以《函数的单调性》一课为例，本文是有关概念教学论文写作技巧范文和《函数的单调性》和数学语言和概念教学方面学士学位论文范文.
卓斌
(江苏省宿迁市中小学教学研究室,223800)
摘 要：在一节《函数的单调性》示范课中,教师设计了自然又匠心的情境引入、逐步精致的定义建构、学以致用的概念例证三个环节,通过“数学语言的精致化”,激发了学生的探究,也帮助学生全面、深入地理解了概念.实现“数学语言的精致化”需要进行三种数学语言的有序转换,做好数学符号语言的“精加工”,充分发挥概念样例的多重功能.
关键词：概念教学 数学语言 精致化 函数的单调性
李邦河院士指出：“数学根本上是玩概念的,不是玩技巧的,技巧不足道也.”在调研中笔者发现,很多数学教师在数学概念教学中重视结果而轻视过程,重视解题技巧而轻视概念形成,使得学生感受不到学习概念的必要性,体验不到概念定义的合理性.这样的数学概念教学缺乏数学味,难以激发学生的探究,也难以帮助学生全面、深入地理解概念.在江苏省中小学教学研究室近期举办的一次“名师讲堂”活动中,江苏省宿迁中学陆威老师执教了一节《函数的单调性》示范课,使笔者深切地认识到“数学语言的精致化”是数学概念教学的必然诉求和重中之重.
一、教学片段展示及点评
(一)自然又匠心的情境引入
师 在同学们听课的每一个45分钟时间里,随着时间的推移,你们的注意力会发生怎样的变化呢？
生 刚开始的10分钟内注意力比较集中,然后有所分散,再过一会儿又有所提高.
生 刚开始的一段时间内注意力不太集中,上课进入时比较集中,快下课时有所分散.
师 刚才两位同学谈了各自的直观感受.下面我们一起来看专家给出的研究结果.（教师投影出示专家研究结果：通过实验研究,专家发现,中学生听课的“注意力指标数”随着老师讲课的“时间”的变化而变化——讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持平稳的状态,随后开始分散；注意力指标数随时间变化的函数图像如图1所示.然后,投影出示问题1：请你说出注意力指标数在[O,45]分钟内的变化规律.）
生 在O到10分钟内,注意力指标数随时间增加而增大；在10到20分钟内,注意力指标数随时间增加而保持不变；在20到45分钟内,注意力指标数随时间增加而下降.
师 这位同学分三种情况叙述了注意力指标数随时间变化而变化的规律,非常清晰！
点评：这节课在引入设计上可谓取法自然、独具匠心.从学生非常熟悉、也是教师非常关心的“听课过程中注意力变化”问题开始.根据心理学的研究,任何一位学生在45分钟的一节课中都不可能白始至终保持高度集中的注意力.所以,当教师提出这样的问题时,可能有学生会认为老师又要进行什么说教了.但是,教师话锋一转,向学生介绍起心理学专家对这个问题研究的结果,激发了学生的好奇心.由此,教师引导学生观察函数图像的变化并寻找其规律,自然而然地引出了研究函数单调性的课题.此外,这一实际问题的函数图像既包含增区间,又包含减区间,还有一段常数区间,非常具有代表性.
(二)逐步精致的定义建构
（教师投影出示问题2：再看[0,10]分钟内的函数图像（如图2）,不妨用x表示时间,用y表示注意力指标数,请你重新表述这句话？）
生 在O到10分钟内,注意力指标数y随时间z增大而增大.
（教师投影出示问题3：如何用“数学符号语言”准确地刻画,该函数在区间[O,10]上,当x的值增大时,函数值y也增大？学生讨论,教师适当引导.）
生 在x轴上取两个点x1、x2,设x1、x2所对应的注意力指标数分别为y1、y2,当x1<x2时,都有y1<y2.
师 这位同学引入了两个自变量x1、x2,两个因变量y1、y2,较好地解决了增大如何表示的问题.
（教师投影出示问题4：在[0,10]内取x1、x2,当x1<x2时,都有f（x1）<f(x2),能不能反映函数的图像一直是上升的趋势呢？学生讨论,教师引导.）生可以举出反例.
（该生到黑板上画出图3.）
师 很好的反例.当x2取定后,x1在[0,x2]内无论怎样取值,都有f(x1)<f(x2).由此看来,在一个区间上仅取两个点,还不足以说明在该区间上函数的图像总是上升（或下降）这一特征.
（教师投影出示问题5：在[O,10]内多取一些点行不行？10个？100个？1000个？10000个？）
生（众）不行,总可以举出反例.
师 是的.在一个区间内,不要说取有限个点,就是取无限个点,也不能说明该函数的图像是上升的.那么,应该满足怎样的条件,才能保证该函数的图像是上升的呢？
生 （众）只有在该区间上任意取两个点x1、x2,当x1<x2时,都有y1<y2,才能说明函数图像一定是上升的.
（教师出示问题6：如果在给定的某个区间内,函数的图像一直是上升的,我们就说该函数在这个区间内是增函数.你能试着给增函数下定义吗？）
生 一般地,设函数f(x)的定义域为A,区间I∈A,如果对于I内的任意两个值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1）<f(x2),那么就说f(x)在I上是单调增函数,称I为f(x)的单调增区间.
点评：学生自主给出增函数的定义并准确地把握定义中的关键词比较困难.这里,教师层层推进、步步为营地引导学生交流碰撞,体现了数学语言逐步精致化的动态过程.首先提出具有迷惑性的问题4,这时一部分学生认为正确,另一部分学生觉得不对.究竟对还是不对呢？于是,教师和学生一起展开讨论并启发学生举出反例,得出仅取两个点还不足以说明函数的图像总是上升（或下降）这一特征.进而提出稍作完善化的问题5,并在不断释疑解惑的过程中让学生自己得出结论：只有对该区间上任意的x1<x2,都有y1<y2,该函数才是增函数.通过一系列数学问题的研讨,把增函数概念的建构过程交给了学生,让他们在思考、操作和互动中,体验到增函数定义的合理性,以及其中关键词的内涵与外延.
(三)学以致用的概念例证
（教师呈现如下例题并引导学生解决.）
例题1 判断下列命题是否正确？并说明理由.
(1)函数f(x)是R上的增函数,则必有f(2)>f(1)；
(2)若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)是R上的增函数；
(3)若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)不是R上的减函数.
例题2 作出下列函数的图像,写出其单调区间,并加以证明.
(1)y等于2x；
(2) y等于1/x；
(3)y等于x2+2x+1.
点评：在给出函数单调性的定义之后,教师试图通过两个例题帮助学生深入理解其本质属性,把新概念准确地纳入到原有的认知结构中.例1的第(1)题是对增函数定义的简单、直接运用,考查了学生是否理解定义的“充分性”；第(2)题是对函数单调性定义的“断章取义”,考查了学生是否掌握定义中x1、x2取值的“任意性”；第(3)题则以命题的否定形式呈现,考查了学生的逆向思维能力,渗透了反证法的数学思想.例2中所选用的函数是学生已经熟知的一次、反比例、二次等函数,既有亲切感,又具代表性；其中反比例函数的两个单调减区间能否用并集符号连接的问题是学生学习中最容易出错的问题之一,可以考查学生有没有深刻理解函数单调性的意义.
二、对“数学语言精致化”的教学建议
(一)进行三种数学语言的有序转换
著名数学教育家G波利亚将一般的数学问题解决分为四种水平,即图像水平、联系水平、数学水平和探索水平.从数学语言的角度来看,这里的第一种水平使用的主要是图像语言；第二种水平是将所考察的对象及表示它的图像语言用文字或符号表示出来,建立几种语言之间的联系；第三种水平是将各种数学语言发展成以数学理论为句法的数学语句；第四种水平是由数学语句发展成数学文章,即给出问题的数学解答并由此做出进一步探索.由此可见,图像是将考察对象第一次抽象后的产物,是最先使用的数学语言,也是直观形象的语言；文字语言是对图像的描述、解释与讨论；符号语言则是对文字语言简化和再次抽象的产物.数学问题解决首先要建立图像语言,其次是文字语言,然后是符号语言,最后要形成三种数学语言的综合描述.
数学语言是一种表达科学思想的、高度抽象的人工符号系统,也是数学思维的最佳载体.在通常情况下,数学语言包括图像语言、文字语言和符号语言三种形式.这三者在学习掌握数学知识的过程中彼此映照、相辅相成、缺一不可,这三者之间的有序转换是数学语言学习的重中之重.基于此,苏联数学教育家斯托利亚尔认为：在一定程度上,“数学教学就是数学语言的教学”.
上述课例的最大亮点在于,让增函数的概念从图像语言到文字语言、再到符号语言,让学生体验了数学语言的精致化过程.其中,问题2让学生经历了从图像语言到文字语言的过渡,问题3让学生实现了从文字语言到符号语言的升华.正是通过这两次数学语言的有序转换,学生才能够有效地突破认知难点,自主地给出增函数的形式化定义,进而类比地给出减函数的形式化定义.
(二)做好数学符号语言的“精加工”
数学符号语言的优越性,一是能够避免文字语言的歧义性,确保表达的准确性与清晰性；二是书写简洁方便,有利于使用数学符号进行思维活动.因为教材中关于数学概念“表达的思维过程与实际获得发现的过程往往完全相反”,被著名数学教育家弗赖登塔尔称为“违反教学法的颠倒”,所以在教学中,不能直接从数学概念出发,而要从数学实例出发,先去操作,再来归纳,由此做好概念符号语言的“精加工”.
“函数的单调性”这节课的学习难点应该是单调性的形式化定义.函数单调性的建构要经历两个重要过程：一是建构函数单调性的意义,二是把这个意义用数学的形式化语言加以描述.对于函数单调性的意义,学生通过对若干函数图像的观察并不难认识,因此这一内容的建构学习相对比较容易.而后一过程的进行则有两个难点：一是“x增大”与“f (x)增大”如何用符号表示；二是“随着x增大,f (x)也增大”如何用符号表示.
为了最大限度地引导学生通过自己的思考来完成数学符号语言的描述,自主建构函数单调性的概念,教师精心地设计了三个由易到难、层层深入的数学问题：问题1,建立在学生初中阶段学习的一次、二次、正比例、反比例函数图像上升与下降的感性认识基础上,引导学生观察、辨别,得出“增大”“减小”等函数单调性的直观属性,从而建立对函数单调性的浅层感觉；问题3,引导学生从感性到理性、从模糊到精确、从直观理解到符号刻画,建立函数单调性的本质属性与整体特征,达到对函数单调性的深层知觉；问题6,通过师生共同探究与合作交流,给出了函数单调性的数学符号表达,从而达到对数学概念的形式化要求.这节课的教学让学生经历了数学符号语言精加工的全过程,积累了丰富的数学语言学习的活动经验：从观察图像到运用生活语言描述,再到运用数学文字语言描述,逐步数学符号化到运用数学形式化语言表述.
(三)充分发挥概念样例的多重功能
在数学思维活动中,概念和样例常常相伴相随、共生共荣：提起某个概念,头脑中的第一反应往往就是它的一个样例.譬如提起“函数”概念,我们头脑中立即会浮现一次、二次、正比例、反比例、指数、对数、三角等函数的具体解析式及图像.这表明样例在概念理解和记忆中的重要性.此外,概念的反例提供了最有利于辨别的信息,不但能够使得学生对概念的理解更加准确,而且可以帮助学生排除无关特征的干扰.这表明反例的运用对概念认识的深化具有非常重要的作用.通过提供数学概念的正例和反例,能够全方位加深学生对数学概念的理解.这是一种十分有效的概念教学策略.
上述课例中,学生列举的反例（图3）以及教师出示的反例(例题1第(2)小题）都可以强化学生对函数单调性定义中“任意”两个字的理解.此外,对于例题2中函数y等于1/x的单调区间,学生常常错误地书写成（-∞,0）∪(O,+∞).由此,教师可以引导学生寻找反例,譬如取x1∈（-∞,0）,x2∈(O,+∞),则有x1<x2且y1<y2,显然与y等于1/x在定义域内是单调减函数相矛盾.当然,反例应该在学生对概念有一定理解后再使用；如果在学生刚接触概念时就使用,将有可能使错误概念先人为主,进而干扰概念的正确理解.
结论：该文是关于经典概念教学专业范文可作为《函数的单调性》和数学语言和概念教学方面的大学硕士与本科毕业论文概念教学论文开题报告范文和职称论文论文写作参考文献.
参考文献：
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