论文探究高中数学例题解答中导数的典型性应用，本文是有关高中数学专科毕业论文范文和高中数学和导数和例题相关硕士论文开题报告范文.
（宁阳第四中学,山东 泰安271400）
[摘 要]在高中数学的课程改革中,除了保留以往的代数、解析几何、立体几何等内容之外,又加入了向量、概率统计以及微积分的相应内容.为了使高中学生在数学学习中更好地掌握微积分,在例题教学中导数的应用必不可少.本文将通过高中数学教学实践的经验,对高中数学导数例题解答的教学重点进行总结,并结合实际例题,对导数教学的应用方法进行分析.
[关键词]微积分；极限概念；导函数；几何意义
前言
高中学生所具备的数学思维特点,是其在高中阶段学好数学的重要因素.在对高中课堂进行观察中笔者发现,高中学生的思维特点主要表现在预见性、假设性、内省性和差异性等几个方面.这些特点对于高中学生的逻辑思维的深化具有积极的作用.教师利用教学手段,对高中学生的思维特征合理运用,可以促使高中学生的数学学习兴趣得到提升,同时学习效率也会得到加强.
一、高中数学的教学内容和方向
(一)高中数学教学内容
在高中阶段,数学教材内容所需要学生掌握的微积分知识较为初级,因此在导数教学中,针对导数内容,教材会分为几个单元部分,系统全面地对导数的概念和应用进行介绍.以人教版为例,在教材中,就包含了导数与变化率、导数计算、导数在函数研究中的应用、生活中的优化、微积分与定积分的基本概念等几个部分.这些内容的制定为高中数学的导数教学制定了大的规模框架,并明确了教学内容.例如导数在函数研究中应用这一章节,教学内容就应当集中在函数单调性、函数极值、函数最值等方面.
(二)高中数学策略方向
针对高中阶段的导数教学,教师应当有计划地制定教学策略.在目前的教学理论研究中,启发式教学的产生式教学策略效果最为突出,在本文最后的导数例题应用章节当中,教学实例所采用的正是产生式教学方法.这种教学方法是使学生自己明确学习内容和目的,从而根据内容要求,以小组为单位,设定学习目标,安排学习顺序.教师在其中扮演启发者的角色,对学生学习中遇到的难点进行引导.这种教学方法下,学生自主学习和自主探究的能力会大大增强,同时对导数学习的理解将更加深刻,为了解决问题,所需掌握的知识也更加全面.
二、高中数学教学中导数教学存在的问题
导数是高中数学中的重点和难点,一般教材会将这部分内容放置在高三或者是选修课当中学习,这充分说明了高中学生对于导数学习存在相当程度的困难.也正因如此,高中导数教学往往存在一些问题.首先,在教学过程中,教师通常将教学重点集中在导数例题的讲解上,而忽略了学生对导数概念的理解.在这种教学环境下,学生很容易出现概念混淆、含混不清的问题；其次,教学过程忽视推导生成过程,不注重导数与微积分关系的结合；此外,数学思想的形成、导数知识的实用性等与数学学习密切相关的在教学过程中,也被部分教师有意无意的忽视,从而使导数学习成为高中数学的难点.
三、导数概念的教学重点
(一)导数的平均变化率
在高中数学的导数教学中,常常会遇到例如高台跳水、气球膨胀等实际问题,这些实际问题一方面为学生提供导数学习的现实场景便于理解,另一方面,也代表了导数当中平均变化率的特点.以气球膨胀率的问题为例,在现实生活当中,气球随着进气量的不断增加,其膨胀速度则会不断下降.这一现象产生的原因涉及到气球中空气容量和气球半径两个变量,并根据这两个变量可以推算出二者之间的关系,即如公式l所示：
其中V为气球中的空气质量,r为气球半径.通过反解则有公式N：
公式：
通过这两个公式可以看出,在数学意义当中,气球体积不断增大,半径增加量比体积增加量的比值就会越来越小,而比值则是该气球的平均膨胀率.高台跳水问题与气球膨胀率问题相似,都是利用f(x)来表示两个变量之间存在的函数关系,在教学过程中,教师就可以利用现实生活常见场景,进行函数图像表示,使学生的理解更加直观.
(二)导数的几何意义
在教学当中,教师会利用多媒体方式对圆的割线变化趋势进行讲解,并使学生对割线的动态变化产生直观的印象,从而启发学生,获得切线的定义.在动态变化过程中,圆的割线逐渐变化成为切线的过程,是微积分当中“无限逼近”思想方法的一种体现,在学习过程中,学生通过“无限逼近”的方法引领,可以进行割线斜率和切线斜率之间关系的思考,使学生形成数形结合的解题思路,认识到数学对象不同方面的意义.
(三)导函数
导函数内容在教学时,教师会利用函数当中的集合观念,使学生体会导数当中的函数变化,在教学中,教学内容应当十分注重计算性,例如对于瞬时速度的探究,教师可以利用田径运动员的运动过程来帮助学生理解,同时对整个运动过程所产生的瞬时变化率,从而探究出完整过程和运动当中的最大当量,并将运动员的运动组昂太进行刻画.
四、导数在高中数学例题当中的应用
(一)例题中三角函数求导的导数解答应用
在高中数学例题当中,三角函数求导的题目是十分常见的典型例题.例如.已知y等于(l+cos2x)‘,求y’.在关于复合导数求导中,学生通常存在不熟练的情况,在这个例题当中,Nx和x的系数不一样是一个复合过程,这在解题过程中是重要的已知信息,但是在学生解题的过程中通常会被忽略,从而出现错误求导y’等于一NsinNx(1+c.sNx).而正确的求导方法需要对例题进行重点考察,再进行正确解答.首先,设y’等于u‘,u等于l+c.sNx．则有y,’等于y】 u.等于Nu(1+c.sNx)’等于Nu （一si nNx）．(Nx)等于Nu.（一si nNx）．N等于一4si nNx (1+cosNx),这样就求得了正确的求导答案.
(二)例题中函数极值的导数解答应用
在函数问题当中,函数极值的题目是具有典型特征的函数点调性的考察,从而判断学生对于函数单调性的理解.在题目中,已知函数f(x)等于x‘(x+1),求f(x)的极值.在这一题目的解答中,需要学生对函数的单调性有一定的理解和判断,并得出f’(x)等于Nx(x+1)+x‘等于3x‘+Nx,此时,令f’(x)等于o,则可以得出结论：x、等于o,同时x等于一.在这之中,当x s（一∞,一 ）时,则有f’(x)>o,这表明函数f(x)的单调性为单调递增；而当x s∈（
,o）时,f’(x)<o,这表明此时函数f(x)的单调性为单调递减；当,x s(0,∞),f’(x)>0,此时函数f(x)为单调递增.据此结论可以得出,当X等于-时,函数f(x)为极大值,而f( D:\蔡亚云\插图\9-25\11318.jpg 、-4 而当x等于0时,f(x)
3 ´ 27 ”为极小值,f(0)等于0.
(三)例题中曲线切线的导数解答应用
导数的运用在高中数学的几何题目解答当中得到充分的运用,会使几何题目的解答更加简单便捷,同时提升数学题目的解题效率.在高中数学的课程标准当中,设计到利用导数方法解答的几何题目一般为坐标系切线方程,这类题目具有一个共同的特点,就是在题干当中会给出曲线之外的坐标点,学生根据所学的切线知识,求出这个曲线的切线方程.目前的解答方法当中,利用导数求解是高中生最常选用的.已知曲线C为y等于f(x),切线经过点N(xo,y0),求出过点N的切线方程.对于这一题目,学生在进行解答的时候,就会用到导数的相关概念以及方法,解题思路为首先判断切线、点N以及曲线C在坐标系当中的位置关系,在求出相应的导数f(x)’,最后再进行求解.在具体解题过程中,要对点N是否经过曲线C做出判断,并根据不同情况进行导数方程计算.当N在曲线C之上时,这时需要利用导数方程对切线进行表示,即有y-y0 等于f’(xo)(x-xo),从而求得最终答案.而当N点不在曲线C之上,则需要寻求到相应的切点(x、,y、),并经过y、等于f(x、)以及y0 -yi等于f’(x1)（XO -Xl）,从而获得具体的切点(X、,y、)的具体数值,并根据这一数值和N值这两个点的坐标,求解出N点经过曲线C的方程,其方程的表示为y-y、等于f’(x1)(x-xl).
结论
在高中数学的解题应用当中,导数作为高中数学教学的重点和难点,同时也是解题思路形成的最好方法之一,是提升解题效率的优良应用.在解题过程中,导数非但能够对三角函数、函数极值、切线方程进行解答,同时还应用于立体几何、向量以及解析几何的题目当中.教师在进行教学时,可以充分利用导数的解题优势,在例题讲解的过程中对具有典型性的例题进行导数解题的应用,帮助学生形成导数解题思维.
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参考文献：
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