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周 志 胡重光
“鸡兔同笼”问题是中国古代著名趣题.这个问题最早见于成书约在1500年前的《孙子算经》：“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何？”意思是：有若干只鸡兔关在同一个笼子里,从上面数有35个头,从下面数有94只脚.问笼中各有几只鸡和兔？
由于它奇特有趣,我国的小学数学教材历来都在“典型应用题”中教学这个问题.现在的人教版新课标小学数学实验教科书则把它作为“数学广角”的一个内容.但是,有人认为,“鸡兔同笼”问题纯属虚构,没有应用性,解答该问题的假设法也没有普遍意义,因此属于过时的落后的数学问题,没有什么价值.
这些观点正确吗？本文将做一点深入的探讨.
一、“鸡免同笼”问题的解法
首先我们以下面的题目为例探讨“鸡兔同笼”问题的解法.
例1 一些鸡和一些兔子关在同一只笼子里.从上面数有20个头,从下面数有52条腿.问鸡兔各有几只？
1．假设法
这是最常用的解法,众所周知,毋庸赘述.
2．减腿法
这个方法被认为是最简单的,书上没有给它命名,为了方便,本文给它取了这个名字.
解法：让每只鸡和兔都抬起两条腿,这样笼子里的腿就减少了40条,而剩下的12条腿全是兔子的,并且每只兔子只有2条腿.所以兔子是6只.
用第一种解法,教学实践证明,小学高年级学生也有相当一部分难以理解.而第二种方法的最大问题是：你是怎么想到它的？
如果“鸡兔同笼”问题只有这两种解法,它的价值确实要大打折扣.但事实并非如此.
3．画图法
画图分析：画20个小圈代表20个头.先在每个头上都画2条腿,共得40条腿.还差12条腿,再在一些头上又添2条腿,添了6个头后,恰好添够12条腿,并且总共凑足52条腿（如图）.
从图中可以看出,4条腿的有6只,2条腿的有14只.因此,笼有6只兔子,14只鸡.
这种解法具体形象,具有可操作性,符合儿童的认知规律,小学低年级学生也能理解.并且解答的过程就是假设法的形象化,因此能为学习假设法打下基础.
4 列表法
仍以例1为例,教师列出下表.
这个表只填出头3列,后面的让学生接着填.下面的表是按照最慢的步调填的,实际上学生填几个数后一般就会跳跃着填,通过多次尝试就会发现规律,进而改进方法,速度就会快很多.因此教学时要给充分的时间让学生自主探索.
用列表的方法解,一是儿童容易理解,二是能看出鸡兔腿数的变化过程.这种方法不但能为儿童理解假设法打下基础,而且渗透了函数的思想,对发展儿童的数学思维大有好处.
这两种解法大大提高了“鸡兔同笼”问题的数学教育功能,使“鸡兔同笼”问题成为小学数学的良好教学内容.
二、“鸡兔同笼”问题的变式
“鸡兔同笼”问题还有大量的变式,例如：
1．鸡兔同笼,共有15只头,鸡腿比兔腿多12条.求鸡兔各几只？
2.X鸟兔共有168条腿,兔的头数是鸡的2/3,问鸡兔各有多少只？
3．鸡兔若干只,共有腿220条.若将兔的只数增加5/19,增加的只数是鸡兔总只数的5/19,那么鸡兔的腿数相等.问鸡兔各有多少只？
这些变式表明,“鸡兔同笼”问题的内容是相当丰富的.
例2 蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在有这三种小虫共18只,它们共有118条腿和20对翅膀,问每种小虫各有几只？
分析和解答：这道题条件比较复杂,为了便于分析,先将条件列表整理如下：
从表中可以看到,蝉和蜻蜓都是6条腿,因此可以把它们统一起来,都当作“六足虫”,而不考虑翅膀这个条件.这样问题就简化为：
八足虫和六足虫共18只,共有腿118条,两种虫各有几只？
这是典型的“鸡兔同笼”问题,用假设法容易求得,八足虫（蜘蛛）有5只,六足虫（蜻蜓和蝉）有13只.
下面再求蜻蜓和蝉各有几只.这时问题又转化为：
“二翅虫”和“一翅虫”共13只,共有翅膀20对,两种虫各有几只？
这又是简单的“鸡兔同笼”问题,再次使用假设法得蜻蜓（二翅虫）有7只,蝉（一翅虫）有6只.
三、“鸡兔同笼”问题的推广
以上关于“鸡兔同笼”问题的变式虽然揭示了许多新的数量关系,但这些问题仍然是虚构的,不具有应用性.然而“鸡兔同笼”问题还可以推广.下面举几个例子.
例3 学校买大小椅子共20把,共用960元.大椅子每把60元,小椅子每把40元.大小椅子各买了多少把？
这道题虽然没有鸡、兔,但数量关系与“鸡兔同笼”问题完全相同,可以用假设法来解.
例4 上山、下山共走19千米,共用5小时.上山的速度是每小时3千米,下山的速度是每小时5千米.上山、下山各走了几小时？
这道题也是“鸡兔同笼”问题,可以用假设法解：假设全是上山路或全是下山路.
例5 一项工程,甲队独做需6小时完成,乙队独做需10小时完成.现在甲队做若干小时后,因另有任务由乙队接着做,合起来共用了7小时做完.问甲队做了几小时？
这道题也可以转化为“鸡兔同笼”问题.把这项工程平分为30份,那么甲队每小时做5份,乙队每小时做3份,合起来共用了7小时做完,求甲队做了几小时.“翻译”成“鸡兔同笼”问题就是：甲、乙两种动物共有30条腿、7个头.甲动物有5条腿,乙动物有3条腿.问甲动物有几只？
以上3例都没有鸡、兔,但数量关系与“鸡兔同笼”问题相同,并且都是生活、生产中广泛存在的问题.由此看来,“鸡兔同笼”问题虽然是虚构的,但其数量关系却是现实的,并非没有应用性.
不仅如此,有的问题尽管与“鸡兔同笼”问题的数量关系不同,但也可以用假设法解.
例6 水果店运来苹果、橘子共336千克,卖出苹果的5/7和橘子的3/7,共卖出了188千克.原有苹果、橘子各多少千克？
分析和解答：假设两种水果都卖出5/7,则共卖出：336×5/7等于240(千克).
比实际多卖出：240 - 188等于 52(千克).
这是因为橘子多假设了：5/7-3/7等于2/7,所以橘子的2/7就是52千克,因此橘子共有52÷2/7等于 182（千克）.苹果共有336 - 182等于 154(千克).
例7 甲、乙、丙三种笔记本的定价分别为每本2元、3元和7元,三种笔记本共买了47本,共用了212元.其中乙种笔记本购买的本数是甲种笔记本的2倍.三种笔记本各买了多少本？
分析和解答：假设三种笔记本的定价都是7元,那么47本共需：7×47等于 329(元).
比实际情况多用了：329 - 212等于 117(元).
拿出3本7元的,换入2本3元的、1本2元的（因为乙种笔记本是甲种笔记本的2倍）,可以减少：7x3-(3x2+2)等于13(元).
要减少117元需要换：117÷13等于9（次）.
因此,丙种笔记本有：47 -3×9等于20（本）,乙种笔记本有：9x2等于18（本）,甲种笔记本有：9x1等于9（本）.
这两个例子表明,假设法不仅是一种解题方法,更是一种思维策略,即首先将复杂的问题简化,然后作调整.它不仅能用于“鸡兔同笼”问题,还能用于许多其他实际问题.
四、“鸡兔同笼”问题的意义
由以上的介绍和分析可以看到,“鸡兔同笼”问题有以下意义.
1．数学教育意义
“鸡兔同笼”问题的多种解法分别适用于小学各年级的儿童,具有趣味性、可操作性和思考性,能培养儿童的数学兴趣,发展儿童的数学思维.
2．思维策略意义
解答“鸡兔同笼”问题的假设法是一种思维策略,其基本思想是“以退为进”,符合华罗庚所说的：善于“退”,足够地“退”,“退”到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍！因而具有重要的思维价值和广泛的现实意义.
3．数学思想意义
中国古代数学最讲究实用,出现“鸡兔同笼”这种纯属虚构的问题,初看起来似乎颇有些奇怪.然而从上面的例子可以看出,古人虚构这个问题的目的是为了给出一个数量关系的模型,凡是能够套上这个模型的问题,都可以用假设法来解.也就是说,“鸡兔同笼”问题体现了数学模型的思想.这一点在现代数学中具有重要意义.
20世纪中叶,随着现代数学的发展和电子计算机的诞生,建立数学模型日渐成为数学的主要目标之一.1998年,时任世界数学联盟主席的D.Mudford在论述现代数学的发展趋势时说：“创建好的模型正如证明深刻的定理一样有意义.我想,承认这一点,数学将会从中受益.”
在发达国家,数学模型的思想方法已进入中小学数学教学.美国的小学数学教材编入了大量的关于数学模式和模型的教学内容.从以上的介绍和分析可以看到,“鸡兔同笼”问题作为一种数学模型,具有生动有趣、易于理解和接受的特点,可以说是我国数学教育得天独厚的资源.类似的还有盈亏术、百鸡术、求一术等.恰当地利用这类古代的问题,可以为数学模型的教学独辟一条具有民族特色的蹊径.
我国著名数学家吴文俊先生指出,中国古代数学的特点是：从实际问题出发,经过分析提高,再抽象出一般的原理、原则和方法,最终达到解决一大类问题的目的.①“鸡兔同笼”问题鲜明地体现了这一特点.吴文俊先生并认为,“将来的数学,应该是走中国古代数学的道路,而不是国际道路,这是一条总的趋势”.②
由此看来,研究中国古代数学的思想方法,特别是挖掘中国古代数学在数学教育方面的作用和意义,应该是我国数学和数学教育工作者责无旁贷的重要任务.
（作者单位：长沙市实验小学湖南第一师范学院）
本文总结,此文为关于数学模型方面的大学硕士和本科毕业论文以及鸡兔同笼和数学模型和鸡兔同笼问题相关数学模型论文开题报告范文和职称论文写作参考文献资料.
参考文献：
1、 鸡兔同笼问题教学反思 杨顺卿“鸡兔同笼”问题是我国古代著名的数学趣题 这种问题,一方面可以提高学生的逻辑推理能力,另一方面使学生体会到解法的一般性和多样性,从而提高学习数学的兴趣 “鸡兔.
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